Yvision.kz
kk
Разное
399 782 постов43 подписчика
Всяко-разно
7
03:02, 07 апреля 2017

Теория игр на примере брачного рынка

Кто-то не помню кто, Кас кажется, просил привести живой пример из теории игр. Есть отличная книжка от нобелевского лауреата по экономике Элвина Рота, называется "Two-sided matching".

Настоящим подарком для казахстанского читателя является то, что данная книга посвящена строгому (хотя и очень примитивному) моделированию брачного рынка с помощью понятийного и аксиоматического аппарата теории игр.

Вот сама модель:

1) Пусть M и W будут двумя не имеющих общих элементов множествами где M={m1,m2,...,mn} - множество мужчин, и W={w1,w2,...,wn} - множество женщин.

2) Каждый мужчина из M и женщина из W имеют предпочтения (preferences) над представителями противоположного пола в следующем виде:

P(m1)=w1,w2,m1,w3,...,wp

означает что мужчина (m1) в первую очередь предпочитает w1, потом w2, а m1 означает, что если w1 и w2 ему отказывают, он предпочтет быть холостым, чем жениться на w3 и далее по списку.

3) Пусть P={P(m1),...,P(mn), P(w1),...,P(wn)} будет множеством всех списков предпочтений всех m и w из множеств M и W.

4) Предпочтения обладают двумя свойствами: они строгие (strict) - то есть w1>w2 (индивид всегда может сравнить два варианта и сказать, какой он предпочитает больше) - и транзитивные - то есть если w1>w2 и w2>w3, то значит w1>w3 (если Маша нравится больше, чем Даша, а Даша больше чем Зина, то Маша нравится больше, чем Зина). Индивид, обладающий предпочтениями с такими свойствами, называется рациональным (rational).

5) Мужчина m1 является приемлемым (acceptable) для женщины w1 в случае, если он ей нравится больше (она его предпочитает), чем быть одной, т.е. m1>w1 в списке предпочтений P(w1).

6) Сочетание (matching) - это взаимно-однозначное соответствие одного элемента из множества M одному элементу из множества W.

7) Сочетание F является индивидуально рациональным, если каждый из сторон приемлем (acceptable) для второй стороны. Если одна из сторон недовольна сочетанием, то она блокирует (block) такое сочетание.

8) Сочетание F является стабильным (stable) если оно не блокируется ни одним индивидом либо парой инвидидов.

9) Порядок определения сочетания следующий:

а) каждый мужчина делает предложение самой предпочтительной женщине;

б) каждая женщина отказывается от предложения от мужчины, который не является приемлемым (acceptable) для нее. Каждая женщина, получившая более чем одно предложение, отказывает всем, кроме самого предпочтительного кандидата.

в) каждый мужчина, которому на этом этапе еще не отказали, сохраняется как "обрученный".

г) на каждом шагу каждый мужчина, кому отказали на предыдущем шаге делает предложение следующей наиболее предпочтительной кандидатке до тех пор пока остаются приемлемые (acceptable) женщины.

д) каждая женщина отказывает всем, кроме наиболее предпочтительного кандидата, в том числе с учетом тех, кто остался "обрученным" с прошлого этапа.

10) Конкретно данная модель является информационно симметричной и полной, т.к. каждый участник брачного рынка знает предпочтения других участников.

Пример.

P(m1)=w2,w1,w3

P(m2)=w1,w3,w2

P(m3)=w1,w2,w3

P(w1)=m1,m3,m2

P(w2)=m3,m1,m2

P(w3)=m1,m3,m2

a) Сочетание F1 = (m1,w1);(m2,w2);(m3,w3) нестабильно (unstable),

так как (m3,w2) являются блокирующей парой (т.е. предпочитают друг друга больше, чем индивидов, назначенных им сочетанием F1).

б) В то же время, сочетание F2 = (m1,w1);(m3,w2);(m2;w3) является стабильным.

Всю книгу перекладывать сюда я не буду, там из данной ситуации выжимается около десяти теорем и лемм.

Точнее, теории выжимаются тогда, когда у игроков появляются свобода врать про свои истинные предпочтения (true preferences) и книга пытается ответить на вопрос:

Всегда ли в в лучших интересах каждого агента говорить правду о своих предпочтениях?

В данной версии модели, которая как раз и является истинно соответствующей аксиоматике теории игр, вводятся дополнительные понятия:

11) Стратегия: выбор игроком того, какую информацию о своих предпочтениях выставлять на обозрение другим игрокам.

12) Доминантная стратегия: стратегия, которая является лучшим ответом на любую комбинацию стратегий других игроков.

13) Эквилибриум Нэша, Парето эффективность, принцип откровения и прочие концепты из теории игр тоже постепенно вводятся в модель.

Например, я как говорил уже давно, то, что у мужчин есть право инициативы (делать предложения) является достаточно ценным активом, т.к. благодаря этому множество мужчин M может добиться более выгодного сочетания F, чем если бы предложения делали женщины. Такое сочетание называется М-оптимальным.

Так что, возрадуйтесь, мужики :) Право делать первый шаг является ценным активом с точки зрения строгих раскладок теории игр.

В общем, отличная книжка, кому интересно, советую почитать.

7