История чисел. Часть Третья: Комплексные числа
В школах есть уроки геометрии и математики, но я всегда считал, что никогда не следовало бы их разлучать, так как они сестры. Геометрия всегда приходила на помощь математике, а без математики, в свою очередь, очень сложно представить современную геометрию. Мы остановились на том, как благодаря геометрии возникли отрицательные и иррациональные числа, объединенные в общую группу вещественных чисел.
Но в эпоху Возрождения у ученых были ряд проблем, так как даже с вещественными числами невозможно было получать результат с ряда задач. Например, x^2 + x + 1 = 0 или чему равен логарифм отрицательного числа и тому подобное. Удивительно, что ответы на все эти вопросы были получены только из-за допущения ученых. В 1545 году Джероламо Кардано записал ответы одного квадратного уравнения, как под корнем -15. Он предположил, что нельзя считать ответы не действительными, на самом деле они, по его мнению, очень хитры.
Ну он был прав. В 16 веке великий мыслитель своего времени Рене Декарт по-простому сказал: "давайте допустим что под корнем -1 (sqrt(-1)) равен какому то числу". В последствии, это позволило математикам решать квадратные и кубические уравнения и записывали они ответы в виде: a+b*sqrt(-1). Затем швейцарский математик Эйлер предложил обозначать это число буквой i от слова imaginarius (мнимый), так как все отвергали реальность этого числа.
Однако для легализации мнимых чисел понадобилось помощь геометрии. Работы Аргана и Гаусса, Коши значительно продвинули комплексный анализ и ученым пришлось их принять. Это позволило написать формулу для всех чисел, которые тогда были известны математике: a + bi, где a и b вещественные числа.
А их существование подтвердила физика, потому что применение комплексных чисел нашли широкое применение в различных областях физики: теория колебании, электромагнетизм, обработка сигналов и так далее.
Можно было бы спросить, для чего нужны эти невозможные решения (комплексные корни). Я отвечу – по трём причинам: для незыблемости общих правил; чтобы не было других решений и по причине их полезность. Альберт Жирар
Дальнейшее исследование комплексных чисел открыли и другие числа. В 1843 году Сэр Гамильтон нашел кватернионов, четырехмерные числа. А дальше больше, к сожалению, они лежат за гранью моих нынешних знаний. Однако вся эта история чисел показывает, что прогресс бесконечен и человечеству следует еще многое открыть. На этой ноте и заканчивается наше путешествие.