Concepts of modern mathematics - одна из лучших книг о математике для нематематиков
Решил я освежить взгляд на математику и прочитал (по диагонали) достаточно известную книгу Яна Стюарта "Concepts of modern mathematics". Как и сборник под редакцией Александрова и Колмогорова, эту книгу можно условно отнести к категории научпопа или же просто обзорной книги о современной математике для широкого круга читателей.
Как поклонник чтения математической литературы на уровне математического бакалавриата и магистратуры, я сам нередко сталкивался с проблемами в чтении, потому что обычно эта литература:
1) Использует аппарат теории множеств, не знакомый школьникам
2) Редко удосуживаются осветить intuition, стоящий за концепцией и еще реже motivation - зачем это, откуда у проблемы ноги растут, и как она связана с общей картинкой.
3) Делает упор на строгости доказательства и широте покрытия всех ключевых теорем, понятий, областей, а не на читабельности.
Когда есть возможность позадавать вопросы профессору, часть этих проблем снимается, однако для self-study такой подход не годится, точнее, он неэффективен.
Поэтому обзорные книги для дилетантов от хорошего математика - это просто находка и возможно вообще самая важная литература по тематике, т.к. куда важнее заинтересовать читателя, чем дать ему весь набор технических карт и исторических наработок.
Данная книга покрывает основные (но не все, конечно) области современной математики и дает основные идеи этих областей:
1) Абстрактная алгебра
2) Топология
3) Линейная алгебра
4) Анализ
5) Прочие (теория вероятности, теория чисел, теория множеств - кратко), смежные области (алгебраическая топология)
Основные плюсы книги - ясный язык, хорошие примеры и желание автора добиться именно понимания основополагающих идей со стороны читателя.
Лучше всего Стюарту удается секция про абстрактную алгебру - оно и неудивительно, ведь он сам специализируется именно на этой области. Также отличные главы про топологию, теорию множеств, вводные главы по пересмотру определения того, что такое функция, что такое современная математика.
Глава по симметрии и про теорию групп это вообще одна из жемчужин книги. Мне эта концепция долго не лезла, хотя она не сказать что очень сложная. Автор подал ее очень толково, предварительно подготовив читателя главами про функции, теорию множеств, теорию колец и полей.
Конечно, есть у меня и небольшие замечания к книге:
1) Линейная алгебра подана несколько формально, не раскрыты векторы как преобразователи математических пространств так же красиво, как например раскрыта тема алгебраического изоморфизма и некоторые ключевые топологические идеи.
2) Переходный мостик от теории множеств к топологии - point-set topology - затронут совсем мало, только в виде определения того, что такое топология. От того у читателя создается впечатление, что топология это как геометрия, хотя она многими местами тесно взаимосвязана с анализом.
3) Анализ написан хорошо в своих базовых идеях, но лично мне не хватает главы по теории меры, которая краеугольна не только для анализа, но и для теории вероятности. Подача теории меры в манере автора была бы бесценна для понимания современной математики. Плюс конечно то, что автор не затрагивает в анализе calculus (производные и интегралы), хотя называет главу real analysis, я считаю упущением, хотя все предпосылки для введения этих тем он дал и не сказать, что они были бы такими уж сложными для читателя после идей абстрактной алгебры и топологии.
4) Автор мог бы затронуть функциональный анализ - пересечение идей линейной алгебры и анализа точно также, как он затронул пересечение абстрактной алгебры и топологии, это было бы просто чудесно - показать, почему интеграл например является линейным оператором и что законы анализа практически не меняются в многомерных или бесконечномерных пространствах.
В целом, я бы порекомендовал эту книгу вообще всем, потому что автор адресовал ее всем, во-первых, во-вторых, для мышления математические идеи и задачи - хороший тренажер. Базовые вещи воспринимаются по-другому когда понимаешь, что заложенный в нас математический аппарат не аксиома, а всего лишь человеческая конвенция на основе бытового опыта. И что повседневная математика - одна из тысяч возможных.
В плане популяризации математики это безусловно одна из лучших, если не лучшая книга, которую я читал. И вообще это очень занимательное чтение.