"Ставлю 100$ на то, что в вашем классе были общие дни рождения!". Звучит абсурдно, не правда ли? Вы бы рискнули? Выглядит как совершенно безнадежная ставка. Ведь шанс встретить людей, родившихся в один день, среди группы из 25 человек выглядит ничтожно малым. А вы поверите мне, если я скажу, что для группы из 25 человек шанс такого совпадения составляет почти 60%? Это один из самых интересных парадоксов математики – парадокс Дней Рождения!
На самом деле, это не парадокс в его обычном определении. Тут нет какого-либо конфликта или несоответствия между логическими заключениями. Вся парадоксальность заключается в несоответствии между интуитивным, якобы очевидным, ответом и ответом, который предлагает математическое решение. Но прежде чем показывать вам это самое решение, я бы хотел показать вам, что это действительно работает!
Для начала, зайдите в VK. Перейдите в список друзей. Теперь кликните по пункту «Дни рождения» в правой колонке. Видите такой простенький календарик, на котором отображаются аватарки некоторых ваших друзей? Пролистайте весь год. Если у вас есть хотя бы 70 друзей, то с вероятностью 99.99% вы найдете день, на который приходится сразу 2 друга. Нашли? Идем дальше.
Буквально пару месяцев назад закончился крупнейший футбольный чемпионат за последние 4 года – Чемпионат Мира. Здесь участвовали 32 команды со всего мира, в каждой команде 23 человека. Кстати, забегая вперед, именно 23 человека необходимо для получения вероятности в 50%. Так что, Чемпионат Мира - идеальный вариант для проверки нашего парадокса. Используя данные с официального списка, опубликованного FIFA, мы получаем… ровно 16 команд, в которых есть хотя бы одна пара, с общим днем рождения. Кроме того, в пяти из этих команд есть сразу 2 такие пары. Список получился вот такой: Испания, Колумбия, Швейцария (2), США, Иран (2), Франция (2), Аргентина (2), Южная Корея (2), Камерун, Австралия, Босния и Герцеговина, Россия, Нидерланды, Бразилия, Гондурас и Нигерия. Кстати, одна из аргентинских пар родилась не только в один день и месяц, но еще и в один год. Кто знает, может они лежали в одной палате роддома?
Ну а теперь можно написать и математическое доказательство. Для того что бы найти вероятность совпадения дней рождения двух людей, мы должны найти вероятность того, что дни рождения ни у кого не совпадут! Еще одно трудноперевариваемое утверждение, но абсолютно точное. Есть одно замечательное правило, что сумма всех подходящих и не подходящих исходов равна единице (или 100%, кому как удобнее). Приведем пример: В мешке лежит 2 черных и 1 белый шарик. Шанс выбрать черный шарик равен 2/3, а шанс выбрать белый шарик – 1/3. В сумме две эти вероятности дадут нам единичку. Вернемся к задаче. Для начала, немного упростим задачу, предположив, что дни рождения распределены равномерно, то есть, нет таких факторов, как високосные года, двойняшки и сезонная рождаемость. Итак, предположим, что наша группа состоит из Х человек. Если X>365 (дней в году), то вероятность того, что все люди в группе имеют разные дни рождения, очевидно, равна нулю. Ведь 366 человеку просто-напросто не останется свободного дня. Поэтому мы будем рассматривать группы, в которых Х≤365. Возьмем любого человека из группы, и запишем его день рождения. Для второго человека вероятность иметь день рождения, отличный от первого равна 364/365. Для третьего человека, она равна уже 363/365. Итак до самого последнего человека, у которого вероятность будет равна (365-X-1)/365. Ну а для того, что бы получить вероятность того, что в данной группе все дни рождения разные, мы должны перемножить вероятности каждого человека:
А для того, что бы найти вероятность совпадения дня рождения хотя бы у двух членов группы, мы отнимаем pразн из 1 и получаем формулу:
За мудрено, да? Но вероятности, они такие. В общем, путем некоторых вычислений (Каюсь, пользовался калькулятором), мы получаем следующую таблицу:
| Х человек в группе | Вероятность совпадения |
| 1 | (6.4×10-13)×100% |
| 5 | 2.7% |
| 10 | 12% |
| 15 | 15.3% |
| 20 | 41% |
| 23 | 50.1% |
| 25 | 57% |
| 30 | 71% |
| 40 | 89% |
| 50 | 97% |
| 100 | 99.99996% |
| 200 | 99,9999999999999999999999999998 % |
| 300 | (1 − 7×10−73) × 100 % |
| 350 | (1 − 3×10−131) × 100 % |
| 367 | 1 (100%) |
А уже по этим данным мы можем составить вот такой график:
Фуф, кажется мы закончили с доказательством. Но все же, почему люди не могут принять и понять этот парадокс? По моему, проблема в том, что люди смотрят на все исключительно со своей точки зрения. Когда мы слышим условие задачки, мы видим комнату, полную людей и проверяем вероятность того, что у кого-либо из этих людей день рождения совпадет с твоим. Но ведь задача предпологает совпадение у людых двух человек в комнате, тебе не обязательно быть одним из этих двух человек. К слову, вероятность того, что в группе из 23 человек ты встретишь человека, родившегося в один день с тобой равна примерно 6%. Вот и все. Люди – эгоистичные создания, не правда ли?