Қазан - казан, котел, здесь: очаг
Басқа - другой, чужой
Қайғы - печаль
қазақша үйренейік
У чужого очага другая печаль.
Выражение используется в ситуации, когда человеку неоткуда ждать помощи и он вынужден рассчитывать только на свои силы, потому что остальные люди выражают равнодушие к его проблеме. Иначе говоря, у каждого свои прблемы.
(интерпретация моя)