---
title: "Біртекті тригонометриялық теңдеулер"
description: "Мектеп оқулықтарында көрсетілмеген, бірақ ҰБТ-да кездесетін күрделі тригонометриялық теңдеулерді шеш..."
author: "kanatuxya"
published: "2015-02-26T13:52:56+00:00"
modified: "2015-02-26T13:54:14+00:00"
locale: "kk"
canonical_url: "https://yvision.kz/kk/post/birtekti-trigonometriyaly-te-deuler-475800"
markdown_url: "https://yvision.kz/kk/post/birtekti-trigonometriyaly-te-deuler-475800/markdown"
site_name: "Yvision.kz"
---

# Біртекті тригонометриялық теңдеулер

> Мектеп оқулықтарында көрсетілмеген, бірақ ҰБТ-да кездесетін күрделі тригонометриялық теңдеулерді шеш...

Мектеп оқулықтарында көрсетілмеген, бірақ ҰБТ-да кездесетін күрделі тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерінің бірі.

Жалпы, екі белгісізді біртекті теңдеу деп мынаны айтамыз:

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/30FgJ3lb6gAN964HmTwzybxvA706f6.gif)

, (*)

Әрбір қосындыда

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/pcAa3if5Oab13OhPDtsh5uwK4GRj4E.gif)

мен

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/kf6p8CU9kMZJtv2RbVakY277noJUrM.gif)

-ның дәрежелерінің қосындысы бірдей (ол біртекті теңдеудің дәрежесі). Егер

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/pcAa3if5Oab13OhPDtsh5uwK4GRj4E.gif)

мен

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/kf6p8CU9kMZJtv2RbVakY277noJUrM.gif)

-ның орнына бірдей аргументті синус пен косинусты қойсақ, (*) теңдеуінен біртекті тригонометриялық теңдеу шығады. Екі дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеуге мысал:

***1-мысал:

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/zg87ouQbHt06Uq3N5yf0b4qHayVjg1.gif)

*** теңдеуін шешіңіз.

***Шешімі:***

Теңдеудің екі жағын

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/lU9SaV9cLG9TZEY9m1fT9rijOqAzCe.gif)

-ке бөлейік. Бұл амалымыздың қате болмауы үшін,

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/i4wOdDP86xe35Ygsr8V7nrRAzbvuVT.gif)

-тің түбір болатын мәндері үшін

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/lU9SaV9cLG9TZEY9m1fT9rijOqAzCe.gif)

нөлге тең болмау керек. Егер

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/sA5c4EnGu02l2M8YSXJpTQBKnKaXzM.gif)

болса, біздің өрнегіміздің екінші және үшінші қосындылары нөлге тең болады, сондықтан

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/CEZh4c6wq6Dxu4V7oDLCX1osTKTfGd.gif)

болады. Ал

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/lU9SaV9cLG9TZEY9m1fT9rijOqAzCe.gif)

пен

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/Y2G3qvyP4f7oC7uJ8dKbeI9BJKJ56s.gif)

екеуі бірден нөлге тең бола алмайды. Демек

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/lU9SaV9cLG9TZEY9m1fT9rijOqAzCe.gif)

-ке бөлу қате емес.

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/lU9SaV9cLG9TZEY9m1fT9rijOqAzCe.gif)

-ке бөлу арқылы:

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/kX80tmf0V7sga07ASH8JArLjSbiLGG.gif)

өрнегі шығады.

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/05uwUJ6ItlE9v2CBogXK43tkZJ3SJ3.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/KvBHBAkRjI9J8IXHMw459fTeAy47uo.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/tObK3a3pQX1DNwu3NWWo5X9FHLbEas.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://im9.asset.yvimg.kz/userimages/kanatuxya/D1Op8lcDz6k6vNbzHBHB4jcSaqH7n7.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://im9.asset.yvimg.kz/userimages/kanatuxya/jy9qe7O2Juy4beo6uOn1nm727TxiF2.gif)

***Жауабы:

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://im9.asset.yvimg.kz/userimages/kanatuxya/D1Op8lcDz6k6vNbzHBHB4jcSaqH7n7.gif)

,

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://im9.asset.yvimg.kz/userimages/kanatuxya/jy9qe7O2Juy4beo6uOn1nm727TxiF2.gif)

***

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/9Z41B9Xv4W3J09hzo3EC4ho33WylUP.gif)

-ке бөлу әрқашан дұрыс, егер өрнекте

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://im9.asset.yvimg.kz/userimages/kanatuxya/v2CRz2hM341kiK5QdizDE8bd1Cg4Ap.gif)

бар болса. Егер өрнекте

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://im9.asset.yvimg.kz/userimages/kanatuxya/v2CRz2hM341kiK5QdizDE8bd1Cg4Ap.gif)

болмаса

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/9Z41B9Xv4W3J09hzo3EC4ho33WylUP.gif)

-ке бөлу дұрыс емес, бірақ

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/HzltWaqImkXxcomvCcRhzHxVszfawb.gif)

-ті жақшаның сыртына шығарып алуға болады, мысалы:

***2-мысал:*** 3

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/lyxT6oCagqMiNAuv5c2728jzU6k309.gif)

теңдеуін шешіңіз.

***Шешімі:***

***

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/Cne7GD7IhRqyblLKrtxlMX9sX2D440.gif)

***

***

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/RZIWxGQ3aLL0gciYF2gnAQ210pbY89.gif)

***

(1) теңдеудің шешімі

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/M11aKQ7BP1a265XYg8D037k6EQIP48.gif)

. (2) теңдеу бір дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу. Оны шешу үшін теңдіктің екі жағын

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/HzltWaqImkXxcomvCcRhzHxVszfawb.gif)

-ке бөлеміз. Сонда

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/zqpM4g5B2q2gBp4l4G7QxdI86XLslJ.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/Gsb9t0Kb2Rhf4irrMPr3b5Zaw7Mmzp.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/SFn2W0HyI9FRpY7jI0hK9idIRe63z6.gif)

***Жауабы:

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/M11aKQ7BP1a265XYg8D037k6EQIP48.gif)

,

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/SFn2W0HyI9FRpY7jI0hK9idIRe63z6.gif)

***

Кейбір теңдеулерді біртекті тригонометриялық теңдеуге айналдыруға болады. Мысалы:

"Егер тригонометриялық теңдеудің әрбір бөлігінде

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/Y2G3qvyP4f7oC7uJ8dKbeI9BJKJ56s.gif)

,

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/lU9SaV9cLG9TZEY9m1fT9rijOqAzCe.gif)

, sinxcosx, sin2x, cos2x (коэффициенттері болу мүмкін) және еркін мүше ғана болса, онда sin2x-ті 2sinxcosx деп, cos2x-ті

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/TK0i7JMU89kA2l0RX30JbPP9c3hl5S.gif)

-

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/dEilG24AfcLbg0g73uN4vHobFtd9xh.gif)

деп және еркін мүше а-ны a(

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/dEilG24AfcLbg0g73uN4vHobFtd9xh.gif)

+

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/TK0i7JMU89kA2l0RX30JbPP9c3hl5S.gif)

) деп жазу арқылы біртекті тригонометриялық теңдеуге айналдыруға болады"

***3-мысал:

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/ulMRgyeTA3Q5s7HQWxkJ2oadqZ4JcQ.gif)

*** теңдеуін шешіңіз.

***Шешімі:***

3(cosx-sinx)=(

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/TK0i7JMU89kA2l0RX30JbPP9c3hl5S.gif)

+

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/dEilG24AfcLbg0g73uN4vHobFtd9xh.gif)

)+(

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/TK0i7JMU89kA2l0RX30JbPP9c3hl5S.gif)

-

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/dEilG24AfcLbg0g73uN4vHobFtd9xh.gif)

)-2sinxcosx

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/NQUoP2T6axXzJlTZFRDK3tglYjpgvN.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/YDhPrvUunBjrjyeMYnuzWLwxAd2gwl.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/uxmpf3JaOrT5dazt1iid47A9yKjwrd.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/5OIWQfmPDGz161EjmrHi608Xv9gIdu.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/IM34TiCSf4DV85tV7dyrdN5x1rxncN.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/9kLw2keOYynt391L5nGqEhseOwP8lT.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://im9.asset.yvimg.kz/userimages/kanatuxya/io8Se7gc3rRa831Wfbs4acJ3s3E6wM.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/Dz0b069Jfh55lVHmxZYZ2YBbMqYcLg.gif)

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/IVaD2jY0GePqIP4GGfx5SdypNN0rLU.gif)

***Жауабы:

![Біртекті тригонометриялық теңдеулер](http://storage.yvision.kz/images/user/kanatuxya/IVaD2jY0GePqIP4GGfx5SdypNN0rLU.gif)

***

 

Келесі мақаламда күрделі тригонометриялық теңдеулерді "Қосымша бұрыш енгізу әдісі" арқылы шешуді үйретемін.

---

Source: [https://yvision.kz/kk/post/birtekti-trigonometriyaly-te-deuler-475800](https://yvision.kz/kk/post/birtekti-trigonometriyaly-te-deuler-475800)