Математикалық есептерді шығаруға үйрету әдістемесі
Жанат АЛТЫНБАЕВА,Қызылорда қаласындағы №144 орта мектебінің математика пәні мұғалімі
Есеп шығарудың математиканы оқып үйренуде алатын орны өте зор. Оқушылардың математиканы меңгеру деңгейі көбінесе олардың математикалық есептерді шығаруға қан-шалықты төселгендігі арқылы бағаланады.
Оқыту процесінде есеп шығаруға оқушыларды үйрету мақсат десек, ал белгілі бір типтегі есептердің шығарылуын қарастыру қандай да бір математикалық материалды меңгеруге әсерін тигізетін әдіс болып табылады. Сондықтан оқыту барысында оқушыларды есеп шығаруға үйретуге көп көңіл бөлінеді. Соңғы кезге дейін есеп шығаруға үйретудің бірден-бір тәсілі белгілі бір түрдегі есептерді шығарып көрсету ғана болатын. Сондықтан оқушыларға арналған есеп шығару кұралдары жауабы және оған байланысты кейбір нұсқаулары бар есептер жинағы болып келді. Соңғы жылдары оқушыларды есеп шығаруға үйретудің әдістемесі мен жалпы тәсілін үйретуге арналған көптеген құралдар шығуда.
Есеп шығарудың жалпы білігі мен дағдысын қалыптастырудың қиындығы оқушыларды есеп шығару барысындағы іс-әрекеттеріне жүйелі де тиянақты талдау жасалып отырмауына, оқушылар шығаратын есептердің барлығына ортақ жалпы істің анықталмауына, сондай-ақ белгілі бір типтегі есептерді шығаруға үйретуді неден бастау керектігін, ондағы жүйелілік пен сабақтастықтық қалай болатынын анық білмеуге байланысты екенін мектеп тәжірибесі көрсетіп отыр.
Есеп шығарудың жалпы әдіс –тәсілдері.
Математикалық есептерді шығара білуге үйрету жане одан әрі оған дағдыландыру — мұғалімдер алдында тұрған өте қиын да жауапты жұмыс. Әр оқушының математикаға деген ұқыптылығы мен зейінділігі түрліше, ал математикалык есептердің саны шексіз көп. Есеп шығаруға үйрету мен дағдыландыру көбіне сыныпта сабақ өту кезінде болатындықтан, барлық оқушыларды есеп шығарудың жалпы әдіс-тәсілдерімен карулаңдыру керек. Мұны іске асыру үшін олардың есеп шығару процесіндегі іс-әрекеттерін басқарып, жұмысты белгілі бір жүйемен жүргізген жөн.
Оқушыларды есептер шығара білуге үйрету процесі шығармашылық сипатта болуға тиіс, яғни мұғалім ұсынған әдісті сол күйінде қолдануға жол бермей, есепті шығару жолын іздеп табу мұғалімнің басшылығымен орындалатын оның шығармашылық жұмысының жемісі ретінде болғаны жөн. Ол үшін есеп шығару процесінін құрылысын білу кажет. Барлық есептер үшін мына кезеңдерден тұратын шешу кұрылысы карастырылады:
1-ші кезең. Есеп шартымен таныстыру (есеп шартын шешуші системаның қабылдап меңгеруі; іске кажетті хабарларды шешуші системаның есінде сақтау);
2-ші кезең. Есеп шығарудын жоспарын құру (есеп шығарудық әдіс-тәсілдерін таңдау, орындалатын түрлендірулердің құрамын және реттіліктерін анықтау);
3-ші кезең. Шешуді орындау (енген хабарларды қорытынды хабарларға айналдыру);
4-ші кезең. Есеп шешуінің дұрыстығын тексеру (қорытынды жасау; шыққан шешімді бағалау; басқа шешуді іздестіру).
Әрбір кезең белгілі бір амалды орындау арқылы жүзеге асырылады. Атап айтқанда:
-бағытты анықтау — іс-әрекет мақсатының сипаттамасын айқындау, түрлендірулер қолданылатын объектінің қасиеттерін атап көрсету;
-жоспарлау — орындалатын түрлендірулердің кұрамы мен реттілігін анықтау;
-атқару — осы түрлендірулерді орындау;
-бақылау — іс-әрекет мақсатының орындалуын тексеру.
Есеп шығару процесінің құрылымы.
Есеппен танысқаннан бастап оның толық шешімін алғанға дейінгі процесті қарастыратын болсақ, онда бұл процесс бірнеше кезеңнен тұратынын көреміз. Енді сол кезеңдерді анықтайық.
Есеппен танысқаннан кейін ең бірінші істелетін жұмыс, сол есептің шартымен танысып, оны элементар шарттарға ажырату, қандай талаптар қойылғанын анықтау, яғни есепке талдау жасау. Сонымен талдау жасау есеп шығару процесінің бірінші кезеңі болады.
Кей жағдайларда есепке жүргізілген талдауды қағазға түсіріп, жазуға тура келеді. Ол үшін есепті схемалык түрде жазулардың алуан формалары қолданылады. Есеп шығару процесінің екінші кезеңі, оны схемалық түрде жазу.
Есепті талдау мен оны схемалық түрде жазу, ол есепті шығару тәсілін іздеп табу үшін қажет. Бұл тәсілді іздеп табу — есеп шығару процесінің үшінші кезеңі болады.
Есепті шығару тәсілі табылғаннан кейін, оны іске асыру қажет. Ол есеп шығару процесінің төртінші кезеңі болады.
Есеп шығару процесі жүзеге асырылғаннан кейін, ол жазбаша не ауызша баяндалған соң, бұл шешудің дұрыстығын және оның есептің барлық шарттарын қанағаттандыратынын тексеру қажет. Ол үшін есеп шешуін тексереді, бұл есеп шығару процесінің бесінші кезеңі болады.
Көптеген есептерді шығарғанда, тексеруден басқа, ол есепке зерттеу жүргізуге, яғни қандай шарттар орындалғанда есептің шешімі болады және әрбір жеке жағдайда қанша шешімі бар немесе қандай жағдайда есептің тіпті шешімі болмайды т. с. с. қарастыруға тура келеді. Бұлардың барлығы есеп шығару процесінің алтыншы кезеңі болып, оны есепті зерттеу деп атайды.
Есеп шығарудың дұрыстығына көз жеткеннен кейін, қажет болған жағдайда оған зерттеу жүргізген соң, есептің шыққан жауабын анық етіп тұжырымдаған жөн. Бұл есеп шығару процесінің жетінші кезеңі болып табылады.
Ең соңында есепті шешу жолына талдау жасалады, яғни есеп шығарудың бұдан басқа тиімді тәсілі жок па, есепті шығару жолын жалпылауға болмай ма, шықкан шешімнен қандай қорытынды жасауға болады және т.с.с. Бұлардың барлығы есеп шығару процесінің ең соңғы, әрі қажетті сегізінші кезеңі болады.
Сонымен есеп шығару процесін сегіз кезеңге бөлуге болады:
1-ші кезең —есепті талдау;
2-щі кезең — есепті схемалық түрде жазу;
3-ші кезең — есепті шығару тәсілін іздестіру;
4-ші кезең — есеп шығаруды жүзеге асыру;
5-ші кезең — есеп шығарылуын тексеру;
6-ші кезең — есепті зерттеу;
7-ші кезең — есеп жауабын тұжырымдау;
8-ші кезең — есеп шығарылуына талдау жасау.
Бұл келтірілген схемадан есеп шығару процесі күрделі және әр алуанды процесс екендігі байқалады. Мысалмен көрсетейік.
Е с е п. Екі жұмысшы бірігіп жұмысты 12 сағатта бітірді. Егер ең алдымен бірінші жұмысшы жұмыстың тең жартысын істеп, ал екінші жұмысшы қалған бөлігін бітірсе, он-да барлық жұмыс 25 сағатта бітеді. Әрбір жұмысшы осы жұмысты қанша уақытта бітірер еді?
1. Есепті талдау. Есепте екі объект туралы сөз болып тұр. Олар: бірінші және екінші жұмысшы. Олардың жұмыс істеу шапшаңдығы әр түрлі, егер жұмыс істеу шапшаңды-
ғы бірдей болса, онда бірінен кейің бірі істегенде, барлық жұмысты 24 сағатта (12 сағ-2) бітірер еді. Есепте бұл шапшаңдықтар берілмеген. Оны табудың қажеті де жоқ. Бірақ
жұмысшының жұмысты қанша уақытта бітіретіндігін, яғнн уақытты табу қажет.
2.Схемалық түрде жазу. Жұмыс көлемін кесіндімен белгілесек, онда схемалық жазу былай болады:
1 мен 2 бірігіп, 12 сағ
_____________________
1-ші содан соң 2-ші 25 сағ
3. Есепті шығару тәсілін іздестіру. Әрбір жұмысшының жұмысты қанша уақытта бітіретінін табу керек. Жұмыс көлемі белгісіз. Жұмыс колемін I өлшем деп алсақ, онда екі жұмысшы бір сағатта жұмысты бөлігін бітіреді. Бұл, екеуінің, жұмыс істеу шапшаңдығының қосындысы. Жұмысты бітіру уақытына кері шама, бұл жағдайда жұмыс істеу шапшаңдығы болады.
Бірінші жұмысшының жұмысты бітіру уақытының жартысы мен екінші жұмысшының жұмысты бітіру уақытының жартысының (себебі олар бірінен соң бірі барлық жұмыстың жартысын ғана істен бітірді) қосындысы 25-ке тең болады.
4. Есеп шығаруды жүзеге асыру. Егер бірінші жұмысшы барлық жұмысты х сағ, ал екінші жұмысшы барлық жұмысты у сағ бітіреді десек, онда бірінші жұмысшының жұмыс істеу шапшаңдығы—(яғни бір сағатта жұмыстың осынша бөлігін істеп бітіреді), екінші жұмысшының жұмыс істеу шапшандығы — болады. Сонда
Бірінші жұмысшы жұмыстың жартысын QUOTE сағ, екіншісі QUOTE сағ бітіреді. Олай болса,
Сонымен мына системаны аламыз:
Бұл системаны мына түрге келтіреміз:
Осыдан
Соңғы теңдеуді қарастырайық.
және QUOTE
Сонда QUOTE QUOTE және QUOTE . Сонымен, бір жұмысшы 30 сағ, ал екіншісі 20 сағатта бітіреді екен.
5. Есеп шығарылуын тексеру. Бір жұмысшы жұмысты 30 сағ, ал екіншісі — 20 сағ бітіреді, олай болса бір сағатта бірінші жүмысшы жұмыстың QUOTE бөлігін, ал екіншісі QUOTE бөлігін бітіреді. Онда екеуі бірігіп бір сағатта жұмыстың
QUOTE
белігін жасайды екен, яғни бірігіп істегенде жұмысты 12 сағ бітіреді. Есеп шартының бірінші бөлігі орындалып тұр. Бірінші жұмысшы барлық жұмыстың жартысын 15 сағ QUOTE , ал екіншісі 10 сағ QUOTE бітіреді. Бірінен сон бірі жұмыстын жартысын істесе олар жұмысты QUOTE сағ бітіреді.
Сонымен есеп шартының екінші бөлігі де орындалды, олай болса, есеп дұрыс шыққан.
6. Есепті зерттеу. Есепте айтылған мағынадан шығып тұр, мұндағы QUOTE Бұлар нольге тең болғанда есеп шартының мағынасы болмайтындықтан, біз есеп шығару процесінде х пен у нольге тең болмауы керек деп айқындап жазғанымыз жоқ.
Есеп шығару қорытындысында х=30, у = 20 және х = 20, у = 30 түрінде екі жауап шықты. Шындығында бұл бір ғана жауап, себебі жұмысшының біреуі жұмысты 30 сағатта бітірсе, екіншісі 20 сағатта бітірген. Олардың қайсысын бірінші десек те, оның ешбір мағынасы өзгермейді.
7. Жауабы: Жұмысшылардың біреуі (мүмкін біріншісі, мүмкін екіншісі) жұмысты 30 сағ, ал екіншісі — 20 сағ бітіреді.
8.Есептің шығарылуына талдау жасау. Бұл есептің шығарылуы екі белгісізі бар екі теңдеулер системасын шешуге келтірілді.
Жұмыс көлемін бір өлшем деп алдық, оны г әрпімен белгілесек, онда г системаның екінші теңдеуінің алымында болады да қысқарып кетеді.
Сюжетті есептердің семантикалық талдаулары
Сюжетті есептердің мазмұны күнделікті өмірде өзіміз қолданып жүрген сөздер арқылы беріледі. Бұл есептердің баяндалуында оның кейбір жеке элементтері тілдің қандай ерекшеліктері арқылы анықталып тұрғанын, сондай-ақ сездердің құрылысына талдау жасау арқылы кейбір жеке шамалардың мәндерін, олардың арасындағы арақатынастарды және т.с.с. анықтау қажет. Мұндай талдауды көптеген әдебиеттерде семантикалық талдау деп атайды.
Сюжетті есепке жасалатын семантикалық талдаудың екі әдісі бар.
Бірінші әдісте есепте сөзбен берілген проблемалық ситуацияның іс жүзіндегі, нақтылы моделі ойша қайтадан жасалады.
Екінші әдісі кейбір шамалардың дербес мәндерінін сөзбен берілу ерекшеліктерін, оның ішінде кейбір қатынастар дың жеке түрлерінің сөзбен берілуінің белгілерін аиықтауға бағытталған.
Казіргі кезде оқыту процесінде семантикалық талдаудың бірінші әдісі кеңінен қолданылып жур.
Есеп шығаруды үйретуге арналған әдістемелік есептерде есептің іс жүзіндегі мазмұнын тағайындап, осы есептің моделі болатын ситуацияны қайта жасау қажет деп саналады. Ол үшін әр түрлі әдістемелік әдіс-тәсілдер қолданылады: онда баяндалған оқиғаны мұғалім мен оқушылардың істері арқылы қайталап, болған ситуацияны көрнекі құралдарды пайдалану арқылы түсіндіруге ұмтылады.
Семантикалық талдаудың екінші әдісі көпшілік жағдайда біріншіге байланысты қарастырылады және оған тәуелді деп саналады.
Есеп бөліктерінің кұрылысын анықтау, жеке бір шамаларды, олардың дербес мәндері мен арасындағы арақатынасты тағайындау, сол есепте баяндалған өмірдегі си-туацияға талдау жасау негізінде болуға тиіс.
Сюжетті есептердің мәтінін әрқайсысында жеке сөз немесе бірнеше сөздерден кұралған сөз тіркестері болатын бөліктерге бөлуге болады. Олардың әрқайсысы есептің белгілі элементінің сөзбен берілуі болып табылады.
Кез келген сюжетті есептің тексінде онда берілген шамалар мәндерінің өзара байланысын анықтайтын қатынастардың берілуі келтіріледі. Қатынастардың сөзбен қалай берілетіндігін анықтау үшін алдымен қандай да бір қатынастан тұратын сюжетті есептерді қарастырайық.
Е с е п. Болат бақтан түске дейін 23 кг, ал түстен кейін 18 кг картоп қазып алды. Болат барлығы неше килограмм картоп қазып алды?
Есепте картоп салмағы деп аталатын шаманың үш мәні туралы айтылып тұр. Бірінші мәні мына сөз тіркестері арқылы берілген: «Болат бақтан түске дейін 23 кг; мұнда қа-растырылатын шаманың (картоп салмағының) аты аталмаған, бірақ та шама мәнінің жанындағы атау (кг) оны толықтай анықтап, сөз сол шама жөнінде екендігін білідіріп тұр. Екінші мәнінің берілуі туралы да соны айтуға болады. Үшінші мәні мына сейлем арқылы берілген: «Болат барлығы қанша килограмм картоп қазып алды?» Мұнда шаманың мәні неге тең екендігі айтылмаған, бұл мәні белгісіз, себебі мұнда «қанша» деген сұрақ бар.
Сонымен қатар, мұндағы бір ерекшелік «...барлығы қанша?» деген сөзбен анықталса, екінші ерекшелік «килограмм» деген сөзбен анықталып тұр. Сонда «барлығы қанша» деген сөз тіркесі «барлық қазылған картоп» туралы да, ал «килограмм» сөзі оның салмағы туралы болып тұр. Енді түске дейін және түстен кейін қазылған картоптардың салмағын қосып белгісізді табамыз.
Бұл арақатынастың қалай берілгендігін анықтау үшін осы есептегі арақатынас түрін өзгертпей тек қана есеп сюжетін өзгертейік.
Е с е п. Мамасы Бекжанға 35 теңге, ал Айбаска 25 теңге ақша берді. Мамасы екеуіне барлығы қанша ақша берді?
Е с е п. Турист бірінші күні 24 км, ал екінші күні 17 км жол жүрді. Турист екі күнде барлығы қанша километр жол жүрді?
Жоғарыда келтірілген үш есепті салыстырсақ, онда олардың әрқайсысында қандай да бір шаманың үш мәні берілген. Ол мәндердің екеуі белгілі де, біреуі белгісіз. Бұл үш мәндер қосу операциясының катынасы арқылы байланыста болады. Оны қандай сөз анықтап тұр? Осы сұраққа жауап беру үшін бұл үш есепке де ортақ больш, орқайсысына қатынасып тұрған сөзді табайық. Ондай сөздер «қанша» және «барлығы». Есеп мәтініндегі «қанша» деген сөз белгісіз болып тұрған мәннің белгісі, ал «барлығы» деген сөз осы арақатынастың сөздік белгісі болып табылады.
Бұл сөз тіркесіп тұрған шаманың мәні ол шаманың басқа мәндерінің қосындысы болады. Соңғы есептегі арақатынастың сөздік белгісі «барлығы» деген сез белгісізге тір-кесіп тұр. Олай болса белгісіз — берілген мәндердің 24 км мен 17 км-дің косындысы болып табылады.
Мына сюжеттегі есепті қарастырайық.
Е с е п. Кой мен козының барлық салмағы 55 кг. Қойдың салмағы 40 кг екендігі белгілі. Қозының салмағы қанша?
Бұл есепте де белгілі бір шаманың, яғни салмақтың үш мәні берілген. Оның екеуі (55 кг және 40 кг) белгілі де, біреуі белгісіз. Мұнда «барлығы» деген сөздің белгі бірінші берілген мәнге (55 кг) тіркесіп тұр. Сондықтан бұл есепте мынадай арақатынас бар: 55 кг берілген 40 кг мен белгісіз салмақтың қосындысы болады.
Егер айтылған жайды қорытындылар болсақ, сюжетті есептер қандай да бір нақтылы проблемалық ситуацияның сөздік моделі екендігін анықтаймыз. Сондықтан есеп мәтіні бойынша бұл ситуацияны ойша көз алдына келтіруге немесе кернекі құралдар арқылы оның заттық моделін жасауға болады. Бірақта сюжетті есепті шығару үшін бұл жеткіліксіз. Есеп мәтініне семантикалык талдау жасау арқылы ондағы берілген барлык арақатынастарды тағайындау қажет. Содан кейін есепті шығаруға болады.
Пайдаланылған әдебиеттер:
1. Баймуханов Б.Математика есептерін шығаруға үйрету.Мектеп.1982.
2. Аргунов Б.И.,Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. М.Учпедгиз.
3. Ағанина Қ.Ж., Кенжебаева М.Ө.,Шалғынбаева Б.Ә., Алтыбаева Ш.Б., Палжанова Ұ.Н. Математика дидактикалық материалдар. Алматы. Атамұра.2001.